Quelques corrigés et indications

Vous trouverez ici les corrigés des exercices 5.26 et 5.27 ainsi que des indications de corrections pour les exercice 4.33 et 5.25 qui m'ont été demandées.

4.33

  1. Prendre un x quelconque dans \mathbb{R} et considérer la suite des f\left(\frac{x}{2^n}\right). Montrer d'une part que cette suite est constante (égale à f(x), par récurrence), d'autre part qu'elle tend vers f(0) (en utilisant la continuité de f en 0). Conclure.
  2. Le plus simple est de considérer la fonction f telle que f(0)=1 et f(x)=2 si x \neq 0.

5.25

  1. Facile.
  2. a. Montrer par l'absurde que si |a| \neq 0 et |a| \neq 1, alors P a une infinité de racines.
    b. Facile.

    c. On doit avoir soit a=0, soit a=1, soit |a|=1 et |a-1|=1. Résoudre ce système (soit géométriquement, soit en cherchant a sous forme algébrique, soit en cherchant a sous forme exponentielle).

    d. Supposer que e^{\frac{i\pi}{3}} est racine, en déduire l'existence d'une racine b ne vérifiant pas les conditions du 2b.

  3. Attention, tous les polynômes de la forme trouvée en 2d ne sont pas solutions.