Sur l'exercice 1.22

L'une d'entre vous m'a demandé par mail des clarifications sur l'exercice (fléché) 1.22 du cours. Je mets un corrigé ici pour qu'il puisse servir à tout le monde.

Tout d'abord, il faut comprendre que 2^{2^k} signifie 2^{\left(2^k\right)}. Ensuite, il y a deux manières de traiter le problème (je ne me souviens plus si j'ai traité les deux en cours).

  1. En calculant d'abord le logarithme du produit, de manière à se ramener à une somme :\ln \left(\prod\limits_{k=0}^n 2^{2^k} \right) = \sum\limits_{k=0}^n \ln\left(2^{2^k}\right) = \sum\limits_{k=0}^n 2^k\ln 2 = \ln 2 \sum\limits_{k=0}^n 2^k = \ln 2 \frac{1-2^{k+1}}{1-2} = \ln 2 \left(2^{k+1}-1\right)

    d'où

    \prod\limits_{k=0}^n 2^{2^k} = \exp\left(\ln 2 \left(2^{k+1}-1\right)\right) =\boxed{ 2^{2^{k+1}-1}} (avec \exp(b\ln a)= a^b)

  2. Directement, en utilisant le fait que x^{a_0}\times x^{a_1}\times\dots\times x^{a_n} = x^{a_0+a_1+\dots+a_n}, ou autrement dit que \prod\limits_{k=0}^n x^{a_k} = x^{\sum_{k=0}^n a_k}. Ici, avec x=2 et a_k=2^k, on obtient :\prod\limits_{k=0}^n 2^{2^k} = 2^{\sum\limits_{k=0}^n 2^k} = \boxed{2^{2^{k+1}-1}} (la somme a déjà été calculée au-dessus).

Laisser un commentaire